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高三数学对称问题篇一
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1、设点p（x，y）关于点（a，b）对称点为p（x，y），x=2a—x。
由中点坐标公式可得：y=2b—y。
2、点p（x，y）关于直线l：ax+by+c=o的对称点为：
x=x—（ax+by+c）
p（x，y）则
y=y—（ax+by+c）
事实上：∵ppl及pp的中点在直线l上，可得：ax+by=—ax—by—2c。
解此方程组可得结论。
（—）=—1（b0）。
特别地，点p（x，y）关于：
1、x轴和y轴的对称点分别为（x，—y）和（—x，y）。
2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a—x，y）和（x，2a—y）。
3、直线y=x和y=—x的对称点分别为（y，x）和（—y，—x）。
例1光线从a（3，4）发出后经过直线x—2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点b（1，5），求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得a关于直线x—2y=0的对称点。
a（5，0），b关于y轴对称点b为（—1，5），直线ab的方程为5x+6y—25=0。
`c（0，）。
`直线bc的方程为：5x—6y+25=0。
求已知曲线f（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线f（x，y）=o上任意一点（x，y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程f（x，y）=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线f（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线的方程是f（2a—x，2b—y）=0。
2、曲线f（x，y）=0关于直线ax+by+c=0对称的曲线方程是f（x—（ax+by+c），y—（ax+by+c））=0。
特别地，曲线f（x，y）=0关于。
（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是f（x，—y）和f（—x，y）=0。
（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是f（2a—x，y）=0和f（x，2a—y）=0。
（3）关于直线y=x和y=—x对称的曲线方程分别是f（y，x）=0和f（—y，—x）=0。
除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。
例2（全国高考试题）设曲线c的方程是y=x3—x。将c沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线c1：
1）写出曲线c1的方程。
2）证明曲线c与c1关于点a（，）对称。
（1）解知c1的方程为y=（x—t）3—（x—t）+s。
（2）证明在曲线c上任取一点b（a，b），设b1（a1，b1）是b关于a的对称点，由a=t—a1，b=s—b1，代入c的方程得：
s—b1=（t—a1）3—（t—a1）。
b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。
b1（a1，b1）满足c1的方程。
b1在曲线c1上，反之易证在曲线c1上的.点关于点a的对称点在曲线c上。
曲线c和c1关于a对称。
我们用前面的结论来证：点p（x，y）关于a的对称点为p1（t—x，s—y），为了求得c关于a的对称曲线我们将其坐标代入c的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）。
y=（x—t）3—（x—t）+s。
此即为c1的方程，`c关于a的对称曲线即为c1。
曲线f（x，y）=0为（中心或轴）对称曲线的充要条件是曲线f（x，y）=0上任意一点p（x，y）（关于对称中心或对称轴）的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。
例如抛物线y2=—8x上任一点p（x，y）与x轴即y=0的对称点p（x，—y），其坐标也满足方程y2=—8x，`y2=—8x关于x轴对称。
例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲线：
a、关于y轴对称b、关于直线x+y=0对称。
c、关于原点对称d、关于直线x—y=0对称。
解：在方程中以—x换x，同时以—y换y得。
（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不变。
曲线关于原点对称。
函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：
1、函数f（x）定义线为r，a为常数，若对任意xr，均有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于x=a对称。
这是因为a+x和a—x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。
例如对于f（x）若tr均有f（2+t）=f（2—t）则f（x）图象关于x=2对称。若将条件改为f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：
2、函数f（x）定义域为r，a、b为常数，若对任意xr均有f（a+x）=f（b—x），则其图象关于直线x=对称。
我们再来探讨以下问题：若将条件改为f（2+t）=—f（2—t）结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f（t）=—f（t）这是奇函数，图象关于（0，0）成中心对称，现在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移，由此我们猜想，图象关于m（2，0）成中心对称。如图，取点a（2+t，f（2+t））其关于m（2，0）的对称点为a（2—x，—f（2+x））。
∵—f（2+x）=f（2—x）`a的坐标为（2—x，f（2—x））显然在图象上。
图象关于m（2，0）成中心对称。
若将条件改为f（x）=—f（4—x）结论一样，推广至一般可得以下重要结论：
3、f（x）定义域为r，a、b为常数，若对任意xr均有f（a+x）=—f（b—x），则其图象关于点m（，0）成中心对称。
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