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2023年分式函数求导(5篇)

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2023年分式函数求导(5篇)
时间:2023-01-11 11:08:22     小编:zdfb

每个人都曾试图在平淡的学习、工作和生活中写一篇文章。写作是培养人的观察、联想、想象、思维和记忆的重要手段。那么我们该如何写一篇较为完美的范文呢?以下是我为大家搜集的优质范文,仅供参考,一起来看看吧

分式函数求导篇一

如果记y=x^2/1+x^2=f(x),并且f(1)表示当x=1时y的值,即f(1)=1^2/1+1^2=1/2;f(1/2)表示当x=1/2时y的值,即f(1/2)=(1/2)^2/1+(1/2)^2=1/5,求f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n)的值(结果用含n的代数式表示,n为正整数)

解:

因为f(x)=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+……+f(n)+f(1/n)

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2

分式函数求导篇二

东莞市莞城蓝天名师课外辅导中心

7、对勾函数yx

a

0),(0,)上为增函数 是奇函数,a0时,在区间(,x

a0时,在(0a],[a,0)递减 在(,a],[,)递增

8.分式函数

典例分析

1.(2007海南、宁夏理)设函数f(x)2.(2009重庆卷理)若f(x)3若函数h(x)2x

a.[2,)

(x1)(xa)

为奇函数,则a.

x

a是奇函数,则a. 2x

1()

kk

在(1,)上是增函数,则实数k的取值范围是 x

3b.[2,)

c.(,2]

d.(,2]

4.(2009全国卷ⅱ理)曲线y

x

在点1,1处的切线方程为 2x1

a.xy20b.xy20c.x4y50d.x4y50

ax14

a的图象关于直线yx对称,则a=。

4x55

x

2(xr)的值域是 6.(2007浙江文)函数y2

x1

7.(2002全国理科)函数

y1的图象是()

5.若函数y

exex(2009山东)函数yx的图像大致为().x

ee

d

a

9.(12分)函数f(x)2x

a的定义域为(0,1](a为实数).x

(1)当a1时,求函数yf(x)的值域;

(2)若函数yf(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;

东莞市莞城蓝天名师课外辅导中心

10.(13分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)x解析式(2)若g(x)=f(x)+

12的图象关于点a(0,1)对称.(1)求函数f(x)的xa,且g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.x

xa(a、b为常数).xb

⑴若b1,解关于x的不等式f(x1)0;

5⑵当x[1,2],f(x)的值域为[,2],求a、b的值.411、(2009重庆八中)已知函数f(x)

x2(1p)xp(p0)

12、(2009西南师大附中)已知f(x)2xp

(1)若p > 1时,解关于x的不等式f(x)0;

(2)若f(x)2对2x4时恒成立,求p的范围.

分式函数求导篇三

分式函数值域解法汇编

甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点,是数学思想,数学方法应用的载体,是初等数学与高等数学的衔接点,还是中学数学联系实际的切入点,因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点,考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现,但更多的是以解题的一个环节形式出现,其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此,如何提高学生求分式函数值域的能力,是函数教学和复习中较为重要的一环,值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究,不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合,是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一:一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x(或参数)的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例1 求函数y=的值域。

解法一:常数分离法。将y=转化为y=(k1,k2为常数),则yk1 解:∵y==,∴

y。

解法二:反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

解:反解y=得x=,对调 y=(x),∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析:这是一道含三角函数的一次分式函数,由于含三角函数,不易直接解出x,但其有一个特点:只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题,其实质跟y=(t=sinx)在t的指定区间上求值域类似。

即:将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1,解之即可。

例2 求函数y=的值域。

解:由y=得,sinx=,∵-1≤sinx≤1,∴-1≤≤1,解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析:这道题不仅含有三角函数,且三角函数不同,例2解法行不通,但反解之后会出现正、余弦的和、差形式,故可考虑用叠加法。

即:去分母以后,利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例3 求函数y=

解:∵2cosx+100,∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中,由∴和,整理得8y+5y≤0。2得,∴≤y≤0 即原函数的值域为[,0]。

总结:求一次分式函数的值域,首先要看清楚是在整个定义域内,还是在指定区间上;其次用反函数法解题;再次还要注意含三角函数的分式函数,其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二:二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项,直接反解x的方法行不通。但我们知道,不等式、函数、方程三者相互联系,可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

1.y=(a、d不同时为0),x∈r型

分析:去分母后,可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集,所以方程一定有解,≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0(=f(y)),即:用判别式法。先去分母,得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例4 求函数y=的值域。

解:由y=得yx2-3x+4y=0。

当y=0时,x=0,当y≠0时,由△≥0得-

∵函数定义域为r,≤y≤。

∴函数y=的值域为[-,]。

说明:判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内,但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域,否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0),指定的区间上求值域型。

例5 求(x<)的值域。

分析:因为x<,所以若用判别式法,可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解:∵x<,∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2,∴原函数的值域为。-4

例6 求的值域。

错解:=≥2。

分析:在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”,显然上述解法中和不能相等,“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题,此时可考虑借函数的单调性求值域。

解:用单调性法

=,令=t,显然t≥2,则y=t

+(t≥2),任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+,f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-),∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0,∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2),即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时,ymin

=,∴原函数的值域为。

总结:不管是求一次分式函数,还是求二次分式函数的值域,都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养,但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提,只强调通解通法,便是空中楼阁。故要因题而论,就事论事,防止一概而论的错误,用辩证和发展的眼光看待问题,这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识,总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一,它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结,尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有:

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法,是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内,还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一,即先去分母,把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,因为方程有实根,所以判别式△≥0,通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式:a+b≥2(a、b∈r+),是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一,当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域,要注意均值不等式的使用条件:“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数(如三角函数)时,可考虑用换元法,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外,还可以根据函数的特点,利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用,在此就不多做说明

分式函数求导篇四

12—分式函数

专题12分式函数2011.7

【学习目标】

1、熟悉分式函数的代数和几何特征,掌握分式函数的单调性、最值的求法;

2、能数形结合地处理分式函数、基本不等式等相关的问题.【例题选讲】

例1 已知函数yb

xa(为常数,且a0,b0),求

(1)图像所经过的象限;

(2)它的对称中心;

(3)单调区间.例2 讨论f(x)axb

x(a0,br,b0)的单调性.(1)设x1,求函数f(x)x

2例2x3的最大值;

(2)函数f(x)2 x2

(3)函数y2

x在[1,3]上的最大值与最小值;

(4)若不等式x2ax10对于x(0,12)恒成立,求a的范围.【课后习题】

1、函数y2x

1x3的值域为__________.2、函数f(x)xa

x(a0)的单调递增区间__________.3、函数f(x)xm

m1x的对称中心是(3,n),则m2n________.4、函数yb

xa(a、b为常数,且a0,b0)的图像所经过的象限是__________.5、设x1,则函数f(x)x

2x1的最小值是___________.6、已知f(x)x

52xm的图像是直线yx对称,则m__________.7、设函数f(x)x

1|x|(xr),区间m[a,b],集合n{y|yf(x),xm},则使mn成立的实数对(a,b)有________个.8、设函数f(x)2x

1x1(x0),则f(x)()

a.有最大值;b.有最小值;c.是增函数;d.是减函数.9、函数yx

x1(x1)的反函数是()

a.yx b.yx

x1(x1);x1(x1);

c.yx

1x(x0);d.y1x

x(x0).10、关于问题“函数f(x)

x(

)的最大值、最小值与函数

g(x)xz)的最大值与最小值”,下列说法正确的是()

a.f(x)有最大、最小值,g(x)有最大、最小值;

b.f(x)有最大、最小值,g(x)无最大、最小值;

c.f(x)无最大、最小值,g(x)有最大、最小值;

d.f(x)无最大、最小值,g(x)无最大、最小值.-2-

11、设x

0,若函数f(x)a的取值范围并求出此最小值.12、设f(x)xa

x1(ar),x[0,),求f(x)的最小值.13、已知函数f(x)x2a

x(x0,ar),(1)判断函数f(x)的奇偶性;

(2)若f(x)在区间[2,)是增函数,求实数a的取值范围.14、若函数f(x)x2

x1的图像是由函数yg(x)的图像由右平移2个单位,再向下平移

1个单位所得

求:(1)函数g(x)的解析式;(2)yg(x)的对称中心.

分式函数求导篇五

函数与导数专题(文)

分式函数

2x11.函数fxx的值域为21

说明:引出分式函数基本做法,突出对勾形式函数f(x)x

质。

2.(浙江卷文8)若函数f(x)x2a(ar)的图象与基本性xa(ar),则下列结论正确的是x

a.ar,f(x)在(0,)上是增函数

b.ar,f(x)在(0,)上是减函数

c.ar,f(x)是偶函数

d.ar,f(x)是奇函数

t24t13.【2010·重庆文数】已知t0,则函数y的最小值为____________.t

x23x3,(x1)的值域为变式练习:①函数fxx1

②函数fx

③函数fx

4.【2010·天津文数】设函数f(x)=x-

则实数m的取值范围是________.xy205.动点p(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动,则ab3的取值范围xy0a1y0x1,(x1)的值域为2x3x3sinxcosx1,x0,的值域为2sinxcosx21,对任意x[1,),f(mx)+mf(x)<0恒成立,x

是.

例题1:经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),日旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)41,人均消费g(t)(元)与时间(的函数关系近似满足g(t)115|t15|.t天)

t

(ⅰ)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1t30,tn)的函数关系式;

(ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元)

例题2:【2010·江苏卷】将边长为1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,2(梯形的周长)其中一块是梯形,记s,求s的最小值。梯形的面积

【解析】考查函数中的建模应用,等价转化思想,一题多解.设剪成的小正三角形的边长为x,则:s2(3x)2

(0x1)21x方法一:利用导数求函数最小值

.(3x)2(2x6)(1x2)(3x)2(2x),s(x) s(x)222(1

x)1

x(2x6)(1x2)(3x)2(2x)2(3x1)(x3)2222(1x)(1x)1s(x)0,0x1,x,3

11当x(0,]时,s(x)0,递减;当x[,1)时,s(x)0,递增; 33

故当x1时,s的最小值是。33

方法二:利用函数的方法求最小值.t211112令3xt,t(2,3),

(,),则:s 86t32t6t81t2t

故当

1t31,x时,s

.83

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