2023年数学必修五不等式的性质(5篇)

在日常学习、工作或生活中，大家总少不了接触作文或者范文吧，通过文章可以把我们那些零零散散的思想，聚集在一块。那么我们该如何写一篇较为完美的范文呢？这里我整理了一些优秀的范文，希望对大家有所帮助，下面我们就来了解一下吧。

数学必修五不等式的性质篇一

摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。

关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理

abstract: a variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or ore, inequality is natural to be a very important tool in analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of has been a special there are a large number of inequalities in higher paper introduces the following methods about proof of inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and integral mean value can resolvethe problems identified through these can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and convenient,keyword: higher mathematics;inequality;extreme value monotonicity;integral mean value

theorem

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【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。

【关键词】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 辅助函数； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公

式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。

例1设e4e2(b-a)。

解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x

例2设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用辅助函数的单调性证明

辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例3试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4设b>a>e，证明ab>ba。

分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a时单调增加。因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展开式证明

泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。

例5设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。

解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述两式相减得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因当c∈(0,1)时，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。

例6设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函数图形的凹凸性进行证明

函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。

f′(x)>0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

类似的如：证明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

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数学必修五不等式的性质篇二

本科毕业论文（设计）

题 目：高等数学中几个常见不等式及其应用 学 生： 学号： 学 院： 专业：

入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称：

完成日期： 年 0 月 日 高等数学中几个常见不等式及其应用

摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。

关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；hlder不等式；minkowski不等式

..a few common inequality in the application of higher mathematics

abstract: in higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and words: average inequality;cauchy inequality;holder inequality;minkowski inequality

目 录

0 引言（绪论）................................................4 1.1平均值不等式...............................................4 1.2平均值不等式应用...........................................5 1.3平均值不等式的推广...........................................5 2 柯西不等式..................................................6 2.1 柯西不等式定理及证明.......................................6 3 施瓦茨等式..................................................8 3.1施瓦茨不等式定理...........................................8 3.2 施瓦茨不等式应用..........................................9 3 4 h..lder不等式..............................................10 4.1 h..lder不等式定理形式及证明...............................10 4.2 h..lder不等式的应用.......................................11 5 minkowski不等式.............................................12 5.1 minkowski不等式定理及证明.............................12 6 结束语......................................................13 参考文献.......................................................13 致谢...........................................................14

0 引 言 不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同时，不等式本身非常抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，应用变化万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。

1.1平均值不等式

基本概念

定理1 对任意n个实数ai0i1,2,,n恒有

na1a2ana1a2an（1）

n（即几何平均值算术平均值）,其中当且仅当a1a2an时成立。证 i 首先有

aa2aa2a1a2a1a21（2）122222（相等当且仅当a1a2）类似的，任意的kn,重复上面方法k次2ka1a2a2ka1a2a2ka1a2a3a4a2k1a2k 2222k（等号当且仅当a1a2a2k时成立）。

ii记a立，则

anaaa1a2anan1a1a2ana n1n1a1a2an,则naa1a2an.假设不等式对n1也成n故 an1a1a2ana，ana1a2an，aa1a2an

1n因此不等式对任意n成立，等号当且仅当a1a2an时成立。1.2 均值不等式的应用

下面通过例题说明均值不等式的应用 例1 设正值函数fx在0,1上连续，试证：

1lnfxdx0efxdx.01证：由已知条件得fx,lnfx在0,1上可积。将闭区间0,1分成n等分，利用积分定义得，10fxdxlim1nnnfi，i1n11nnfxdxlim1n0lnnnlnfilimlni1nnfii1n，1n1lnfxdxlimlnfinn得 e10eni1nlimnnfi.i1n再由定理1，得

1nfin1ni1nnfii1n，故

e10lnfxdx10fxdx.1.3 均值不等式的推广

定义1 设ai0 i1,2,,n，记

1nma1arrrni r0，i1称mra为a1,a2,an的r次幂平均.它与算术平均的关系为

m1aa1a2annaa，mraaar1r

定义 2（加权平均）,pi0, i1,2,,n, 6 rpiai记mra,pi1npii1n，1n1rn1ga,papiipip1ppnpni1a1a22an2p.i1p1mra,p和ga,p分别称为a1,a2,,an的（r次幂）算数平均。

定理2 设a1,a2,,an不全相等，则有ga,pm1a,p，即：appp11a22annp1a1pnan pi0,pi1.亦即：

ap1pp1pnan1a22annp1p2ppn1a1ppp

12n只有a1,a2,,an全相等时“<”才成为“=”.柯西不等式

2.1 柯西不等式定理及证明

定理3 设ai,bi为任意数i1,2,,n则

n2an2nibii1aib2i，（3）

i1i1等号当且仅当ai与bi成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。

证法ⅰ（判别式法）

n0aixbi2i1na22nn2ix2aibixi1bi.i1i1关于x的二次三项式保持非负，b24ac0故判别式

2nnna2ibii1a2i1bi0.ii1 证法ⅱ（配方法）因

2nnnn2222aibiaibiaibjaibiajbji1i1i1j1i1j1i1 nnnnn12ai2b2abababab0,jiijjijji2i,j1i1j1i1j1nn2故（1）式获证.当且仅当aibjajbii,j1,2,...,n时成立，上式可以等于0。

证法ⅲ（利用二次型）

0aixbiyi1n2n22nn22aix2aibixybiy, i1i1i1即关于x,y的二次型非负定，因此

ai1ni1n2iabi1nnii0，ab此即式（1）.iibi12i 注 用方法ⅲ，可以将结果进行推广.因

0ai1x1ai2x2aimxmi1n2aikaijxkxji1k,j1mnm

naikaijxkxj,k,j1i1此式右边为x1,x2,,xm的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式

andetaikaiji1n2i1ai1nni1ai1ni1ni1i22i2aaai1ni1i1nni1imai2ai1ai1ai2aim0.（4）

2imimai1ai1nimai2a等号当且仅当a11,a21,,an1,a12,a22,,an2,,a1m,a2m,,anm线性相关【即：存在不全为零的常数x1,xm使得ai1x1ai2x2aimxm0 i1,2,,n】成 8 立.施瓦茨不等式

柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式直接推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。3.1 施瓦茨不等式

定理4 若fx、gx在a,b上可积，则

bbfxgxdxfaa22xdxag2xdx.（5）

b若fx、gx在a,b连续，当且仅当存在常数,,使得fxgx时成立，等号相等(,不同时为零).证法i 将a,bn等分，令xia2iba,应用柯西不等式，n21n1nfxigxifni1ni11n2xigxi，ni1令n取极限，即得式（1）证法ii

bfxgxdxafxdxagxdxabbbb1b21b222fxdxgydyfydygxdxfxgxdxfygydyaaaa2a2a

b1bdyf2xg2yf2yg2x2fxgxfygydxa2ab1b2dyfxgygxfydx0,a2a22bb2这就证明了式（5）.因此，如果fx、gx连续，当且仅当存在常数,不同时为零，使得fxgx时成立.类似可以推广到一般情况.若函数fix,gix i1,2,,m在a,b上可积，则

bdetafixfjxdx0.如果fix在a,b连续的，当且仅当fix i1,2,,m线性相关，等式时成立 9 的。（即存在不全为零的常数1,2,,m使得1f1x2f2xmfmx0时成立。）

3.2施瓦茨不等式的应用

应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但使用时应注意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。

例1 已知fx0,在a,b连续，bafxdx1,k任意实数，证：

22bbafxcoskxdxafxsinkxdx1.（6）证(1)式左端第一项应用施瓦茨不等式

b2afxcoskxdxfxfxcoskx2dxbfxdxbaafxcos2kxdx（7）

bafxcos2kxdx.同理 bafxsinkxdxbafxsin2kxdx.（8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假设函数fx在闭区间a,bab上有连续n阶fnx，并且fka0,k0,1,,n1.求证：

mkbk112212afxdx2bamkbfmx2dx2a，（9）

这里，0kmn.分析 i先设法证明n1 此时k0,m1，我们只要证明的结论是：

假若x在a,b上有连续导数，a0,则必有

212'fxdx.(10)axdxbaa2bb121212为把与'联系起来，用公式

x'x应用施瓦茨公式

x2xxxx2'2''2tdt.(11)tdt1dttdtxaaaaa2两边同时积分

122'2'2xdxxatdtdxtdxaaaaaabbxbx2'2ba112'2'2xa2atdtaxaxdxxa222xxbb2.tdtab两边同时开方，变得（10）式。

ii回到一般情况，令xfkx，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。hlder不等式

4.1 hlder不等式基本形式及证明

定理5 设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1, 则：

....aibii1nnnaibi.i1i1证： 令aa,bbii1i1ni1nni 那么

abaibiaibi i1abnlgaialgiablgaiaaalgiiiablgab1  11（利用jensen不等式）

aaaibiii

ababnnaibiaibi1 ai1bi1i1abn即

abababiiii, i1i1i1得证。

holder不等式还有另一种表示形式，令nnn1111pq,,1及aixi,xiai,biyi,yibipqpqpqxiyiaibiaibixiyi i1i1i1i1i1i1则：

1212nnnnn1pn1q22xiyixiyi i1i1i14.2 hlder不等式的应用..nnnpqfxp,qr,x0，例3 设的最小值。求函数

2sinxcosx解：取4525,5,于是，1.由

4511holder不等式有

45pq 4545psinxsinx25q4525cosxcosx25qpsin2xcos2xcosxsinx15pqfxpqsinxcosx4545, 54 12 p22p5sinxsinx当且仅当，tanx时，等号成立。所以，fx的最小值是2qcosxqcosx445pq5。54 minkowski不等式

5.1 minkowski不等式基本形式及证明

定理6 设ak,bkmk1kn均为实数，p1则

1pn1pakbkmkk1nppppabakkkk1k1k1nn1p1p特别地，当p2及n2时，nnaibii1i1n22a1b1a2b2anbn

222222证： 由holder不等式可知：

(ii)(ik)(ik1)i1i1i1n1kn1k1

由上述不等式可得：

(ii)i(ii)ki1i1n1kn1k1i1i1nnk1i(ii)k1i11knn

1k1(ik)[(ii)(k1)k1](ik)[(ii)(k1)k1]i1i1n

其中k1,111,(k1)k1k,所以 kk1k()ii[()()][(ii)]i1i1i1i1nn1kkin1kkin1kk1

即：

上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．结束语

i1i1i1[(ii)]()()n1kkn1kkin1kki以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学知识的应用非常广泛，还有均值不等式的定理及推广，应用到许多高等数学证明题中，可以做到深入浅出，使问题的解决更加简单。也突显了不等式证明方法灵活多样。但在数学的学习中，应具体问题具体分析，对待不同的问题，思维要灵活，思路要清晰，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而准确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学[m].北京：高等教育出版社.1981.[2]华东师范大学数学系.数学分析(第三版上册)[m].北京：高等教育出版社.2001:17,44,88,120-121,142-143,215-216.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第三版下册)[m].北京：高等教育出版社.2001:52-57.[4]丰刚.几个积分不等式及其应用[j].牡丹江大学学报.2010(7):88.[5]王蓉华,徐晓岭,叶中行,白云芳.概率论与数理统计[m]北京：北京大学出版社.2010:4-5.[6]张禾瑞，郝炳新.高等代数(第三版)[m].北京：高等教育出版社.1983.[7]中国不等式研究小组.对高中数学竞赛的专门研究[j].不等式研究通讯.2003(第3期).[8]薛贵庚.高等数学中证明不等式的思想方法[j].科学与技术.2007(第4期).[9]张海山.高等数学知识在不等式证明中的应用[j].甘肃教育学院学报.2000(4):68-71.[10]柴云.高等数学中微积分证明不等式的探讨[j].现代商贸工业.2009(第20期)：244－247.[11] inequalities:a journey into linear analysis（garling,d.j.h.）著.世界图书出版公司

[12]刘小琼，不等式在数学上的应用[j].科教文汇.2008(3).[13]朱桂英，王雪峰.高等数学在证明不等式中的应用[j].科技信息.2006：116－117.[14]盛祥耀，高等数学（第二版 下册）[m],北京：高等教育出版社，2003.[15]余建生.利用微积分证明不等式[j].重庆学院学报.2008(4).[16]张昊.高等数学中不等式的证明方法[j].数学教学与研究.2009(第25期).

数学必修五不等式的性质篇三

典型例题五

例5 求证ab

1aba

1ab

1b．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)x1x11． 11x1x1x

定义域为｛xxr，且x1｝，f(x)分别在区间(,1)，区间(1,)上是增函数． 又0abab，∴f(ab)f(ab)即ab

1abab

1aba

1abb

1aba

1ab

1b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵abab，1ab0，∴abababab． 1ab1ab1ab1ab1a1b

错误在不能保证1ab1a，1ab1b．绝对值不等式abab在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

数学必修五不等式的性质篇四

大一高等数学竞赛策划

一、目的及意义

高等数学是理工科基础中的基础，也是学科建设的基础。与物理、物化、工

程力学、传输原理、电工学等几乎所有理工科课程有关。03级实践证明98%的同学由于高等数学底子薄弱听不懂课程，导致最后强烈要求将统计热力学改为考查课。而且在许多理工类论文的研究突破点上，高等数学及其数学思维功不可没。它与考研息息相关，且与英语两门决定考研大局。

通过竞赛激发同学学习兴趣，大一时就打好坚实的数学基础，为以后其它知

识学习提供必备的学习工具。03，04级挂科的同学也可以参加，这样可以帮助他们发现学习中的漏洞及时弥补提高整体通过率。还可以为形成考研队伍起到引导、启发作用。而且在教学上起到检验教学的目的，并且通过竞赛活动希望达到教学相长的作用。但最重要的还是希望这次活动为材料系学科建设形成具有特色的模式进行抛砖引玉，为培养具有后劲人才打下基础。

为此学习部组织本次由学习部出题，批卷的高数竞赛活动。并且考完后由学习部组织同学对试题进行详细讲解以及对其它疑问知识的解答。

三、命题及考试方式

① 试题特点：满分为150分，选择题12题，每题5分。填空题4题，每题4分。

解答题6题，分别8、10、10、12、12、14分。基础题共106分，压轴题44分，且采取多题把关的方式。

② 命题小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

③ 监考小组：总监：孙强督察：马建军（辅导员）

成员：阙永生、魏冰、靳冰花、刘文杰

④ 批卷小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

四、考试安排

时间：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40进入考场）

地点：13#129

五、奖励方式

一等奖1 名、二等奖1名、三等奖1名、鼓励奖5名

具体奖励办法：一等奖80元、二等奖50元、三等奖20元、鼓励奖每人钢笔1支、一等奖、二等奖、三等奖荣誉证书各一份

六、经费操作

①

②

③

④

⑤ 奖品费用总计约为225元。试卷用纸30元。光荣榜用纸3元。命题人员活动经费每人8元（共40元）。总计：298元

材料系学习部

2005年10月10日

数学必修五不等式的性质篇五

专题五不等式

1.设f(x)在 [0, 1]上连续,非负，单调减。

2.f(x)dxaf(x)dx(0a1)00a1

babf(x)dx 3.设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:xf(x)dxa2ab

4.设f(x)在 [0, 1]上可导,且f(0)0,0f(x)1.1135.0f(x)dx0f(x)dx.2

sinx(0x)x2

b2(ba)(0ab)7.求证: lnaba6.求证: 2

8.比较e与e的大小.9．设limx0f(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x.（泰勒，最值，中值）x

10.设f(x)在[0,)二阶可导，且f(0)1,f(0)1,f(x)f(x),(x0).求证：f(x)ex.11.设f(x)在1,1内有f(x)0，且limx0f(x)sinx2，证明在1,1内有x

f(x)3x.12.证明：0x1时 有xln(1x)1xarcsinx

x13.试利用函数f(x)a,对于a1,x1,证明以下不等式

a.n21naaalna(n1)2

1n11n1n1