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高一必修一数学函数的奇偶性篇一
【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.
【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，
【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.
【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
(2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。
(3)函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的'数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。 因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
【学情分析】 从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。 从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自然语言的描述提升为形式化的定义，学生接受起来比较困难?在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义。
【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法： 启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。 探究教学法——引导学生去疑;鼓励学生去探; 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。 合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。 【教学手段】计算机、投影仪.
【教学过程】 一、创设情境，引入课题(利用电脑展示) 1. 如图为某市一天内的气温变化图： (1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况. (2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征? 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考. 问题：观察图形，能得到什么信息? 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律， 是很有帮助的. 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案：股票价格、水位变化、心电图等等 春兰股份线性图 . 水位变化图 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣. 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变量 变化时，函数值有什么变化规律?(学生自己动手画，然后电脑显示下图) 预案：生：函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大;函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小. 师：函数 的图像变化规律 生：在y轴的的左侧y随x的增大而减小.在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生：在 上 y随x的增大而增大，在 上y随x的增大而减小. 师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。 (3)函数 的图像变化规律如何。
生:(1)定义域中的减函数。 (2)在 上 y随x的增大而减小，在 上y随x的增大而减小. 师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么?学生分组讨论。从定义域，图像的角度考虑，也可以举反例 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数 在该区间上为增函数;如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数. 教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律，理性认识 问题1：下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?(电脑显示，学生分组讨论) 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题2：如何从解析式的角度说明 在 为增函数? 预案： 生： 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以 在 为增函数. 生：仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间[0，+∞)上为单调递增函数，应该举出无数个。 由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的说法表示赞同。
生：函数 )无数个如(2)中的实数，显然f(x)也随x的增大而增大，是不是也可以说函数 在区间 上是增函数?可这与图象矛盾啊? 师：“无数个”能不能代表“所有”呢?比如：2、3、4、5……有无数个自然数都比 大，那我们能不能说所有的自然数都比 大呢?所以具体值取得再多，也不能代表所有的，思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。 生：任取 且 ,因为 ,即 ，所以 在为增函数. 旧教材的定义在这里就可以归纳出来，但是人教b版新教材使用了自变量的增量和函数值的增量来表述，并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备，所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。
(5)仿(4) 且 ，由图象可知，即给自变量一个增量 ,，函数值的增量 所以 在 为增函数。 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律，判断函数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维，形成概念 问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义 设函数 的定义域为a，区间m a，如果取区间m中的任意两个值 ,当改变量 时，都有 ，那么就称函数 在区间m上是增函数，如图(1)当改变量 时，都有 ，那么就称函数 在区间m上是减函数，如图(2)
(2)巩固概念(以下问题老师提问后，学生适当讨论后回答) 师：根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)， 生：能。因为定义中区间m中的任意两个值 若 ， 都有 。 师：我们来比较一下增函数与减函数定义中 的符号规范
高一必修一数学函数的奇偶性篇二
对数函数的应用 教案
教学目标 ：①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复
合函数的定义域、值 域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高
解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程 设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1 比较数的大小
例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)
⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小?
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0
调递减，所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时，函数y=logax单调递
增，所以loga5.1
板书：
解：ⅰ)当0
∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9
ⅱ)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，
∵5.1<5.9 ∴loga5.1
师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征?
生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小?
生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0;lnл>1，
log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函
数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数
函数图象的位置关系来比大小。
2 函数的定义域, 值 域及单调性。
例 2 ⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
师：如何来求⑴中函数的定义域?(提示：求函数的定义域，就是要
使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零;有偶次根式，
被开方式大于或等于零;若函数中有对数的形式，则真数大于
零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求
它们共同作用的结果。)
生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：
解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5
log0.8x-1≥0 ， x≤0.8
x>0 x>0
∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，
再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：<板书>
解： x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1
(3x+3)>0 , x>-1
x2+2x-3<(3x+3) -2
不等式的解为：1
例 3 求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x- x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y=log0.5u, u=x- x2复合而成。
板书：
解：⑴∵u=x- x2>0, ∴0
u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0
∴y=log0.5u≥log0.50.25=2
∴y≥2
x x(0,0.5] x[0.5,1)
u=x- x2
y=log0.5u
y=log0.5(x- x2)
函数y=log0.5(x- x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递 增区间[0.5,1)
注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则
函数都不存在，性质就无从谈起。
师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什
么区别?
生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。
师：那么⑵如何来解?
生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。
板书：略。
⒊小结
这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能
通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。
⒋作业
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)
①求它的单调区间;②当0
⑶已知函数y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)
①求它的定义域;②讨论它的`奇偶性; ③讨论它的单调性。
⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),
①求它的定义域;②当x为何值时，函数值大于1;③讨论它的
单调性、奇偶性
对数函数的应用 教案 教学目标 ：①掌握对数函数的性质。 ②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复 合函数的定义域、值 域 奇偶性及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高 解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程 设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征? 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小? 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时，函数y=logax单调递 增，所以loga5.1 板书： 解：ⅰ)当0 ∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9 ⅱ)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数， ∵5.1<5.9 ∴loga5.1 师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征? 生：这三个对数底、真数都不相等。 师：那么对于这三个对数如何比大小? 生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0;lnл>1， log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。 板书：略。 师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函 数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数 函数图象的位置关系来比大小。 2 函数的定义域, 值 域及单调性。 例 2 ⑴求函数y=的定义域。 ⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3) 师：如何来求⑴中函数的定义域?(提示：求函数的定义域，就是要 使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零;有偶次根式， 被开方式大于或等于零;若函数中有对数的形式，则真数大于 零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求 它们共同作用的结果。) 生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。 板书： 解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5 log0.8x-1≥0 ， x≤0.8 x>0 x>0 ∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕 师：接下来我们一起来解这个不等式。 分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零， 再根据对数函数的单调性求解。 师：请你写一下这道题的解题过程。 生：<板书> 解： x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1 (3x+3)>0 , x>-1 x2+2x-3<(3x+3) -2 不等式的解为：1 例 3 求下列函数的值域和单调区间。 ⑴y=log0.5(x- x2) ⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1) 师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。 下面请同学们来解⑴。 生：此函数可看作是由y=log0.5u, u=x- x2复合而成。 板书： 解：⑴∵u=x- x2>0, ∴0 u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0 ∴y=log0.5u≥log0.50.25=2 ∴y≥2 x x(0,0.5] x[0.5,1) u=x- x2 y=log0.5u y=log0.5(x- x2) 函数y=log0.5(x- x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递 增区间[0.5,1) 注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则 函数都不存在，性质就无从谈起。 师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什 么区别? 生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。 师：那么⑵如何来解? 生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。 板书：略。 ⒊小结 这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能 通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。 ⒋作业 ⑴解不等式 ①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数) ⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1) ①求它的单调区间;②当0 ⑶已知函数y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1) ①求它的定义域;②讨论它的奇偶性; ③讨论它的单调性。 ⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0,a≠1), ①求它的定义域;②当x为何值时，函数值大于1;③讨论它的 单调性。 一、学习要求①了解映射的概念，理解函数的概念; ②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法; ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数; ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质; ⑤理解对数函数的概念、图象和性质;⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题. 二、两点解读 重点：①求函数定义域;②求函数的值域或最值;③求函数表达式或函数值;④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题;⑤指数函数与对数函数;⑥求反函数;⑦利用原函数和反函数的`定义域值域互换关系解题. 难点：①抽象函数性质的研究;②二次方程根的分布. 三、课前训练 1.函数 的定义域是 ( d ) (a) (b) (c) (d) 2.函数 的反函数为 ( b ) (a) (b) (c) (d) 3.设 则 . 4.设 ，函数 是增函数，则不等式 的解集为 (2,3) 四、典型例题 例1设 ，则 的定义域为 ( ) (a) (b) (c) (d) 解：∵在 中，由 ，得 ， ∴ ， ∴在 中， . 故选b 例2已知 是 上的减函数，那么a的取值范围是 ( ) (a) (b) (c) (d) 解：∵ 是 上的减函数，当 时， ，∴ ;又当 时， ，∴ ，∴ ，且 ，解得： .∴综上， ，故选c 例3函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 解：∵函数 对于任意实数 满足条件 ， ∴ ，即 的周期为4， 例4设 的反函数为 ,若 × ，则 2 解： ∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 (另解∵ , 例5已知 是关于 的方程 的两个实根，则实数 为何值时， 大于3且 小于3? 解：令 ，则方程 的两个实根可以看成是抛物线 与 轴的两个交点(如图所示)， 故有： ，所以： ， 解之得： 例6已知函数 有如下性质:如果常数 ,那么该函数在 上是减函数,在 上是增函数.如果函数 的值域为 ，求b的值; 解：函数 的最小值是 ，则 =6，∴ 。 一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。 (二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握. 二、目标及其解析： (一)教学目标 (1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性. (二)解析 (1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法. (2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分. 三、问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。 四、教学支持条件分析 在本节课一次递推的教学中，准备使用p5高一必修一数学函数的奇偶性篇四
高一必修一数学函数的奇偶性篇五
