在日常的学习、工作、生活中，肯定对各类范文都很熟悉吧。那么我们该如何写一篇较为完美的范文呢？下面是小编帮大家整理的优质范文，仅供参考，大家一起来看看吧。
上海高二下数学电子书篇一
(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;
(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及解等基本概念;
(3)了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题;
(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;
(5)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.
对学生来说，二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次：
(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.
(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出解作为突破这个难点的关键.
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解;分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点解的方法.
三、教法建议
(1)对学生来说，二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证明、归纳)来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.
(3)要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.
(4)建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.
(5)对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.
(6)若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.
(7)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益;二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
上海高二下数学电子书篇二
学习目标：
1、了解本章的学习的内容以及学习思想方法2、能叙述随机变量的定义
3、能说出随机变量与函数的关系，4、能够把一个随机试验结果用随机变量表示
重点：能够把一个随机试验结果用随机变量表示
难点：随机事件概念的透彻理解及对随机变量引入目的的认识：
环节一：随机变量的定义
1.通过生活中的一些随机现象，能够概括出随机变量的定义
2能叙述随机变量的定义
3能说出随机变量与函数的区别与联系
一、阅读课本33页问题提出和分析理解，回答下列问题?
1、了解一个随机现象的规律具体指的是什么?
2、分析理解中的两个随机现象的随机试验结果有什么不同?建立了什么样的对应关系?
总结：
3、随机变量
(1)定义：
这种对应称为一个随机变量。即随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的
到的映射。
(2)表示：随机变量常用大写字母.等表示.
(3)随机变量与函数的区别与联系
函数随机变量
自变量
因变量
因变量的范围
相同点都是映射都是映射
环节二随机变量的应用
1、能正确写出随机现象所有可能出现的结果2、能用随机变量的描述随机事件
例1：已知在10件产品中有2件不合格品。现从这10件产品中任取3件，其中含有的次品数为随机变量的学案.这是一个随机现象。(1)写成该随机现象所有可能出现的结果;(2)试用随机变量来描述上述结果。
变式：已知在10件产品中有2件不合格品。从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象。若y表示取出的3件产品中的合格品数，试用随机变量描述上述结果
例2连续投掷一枚均匀的硬币两次，用x表示这两次正面朝上的次数，则x是一个随机变
量，分别说明下列集合所代表的随机事件：
(1){x=0}(2){x=1}
(3){x<2}(4){x>0}
变式：连续投掷一枚均匀的硬币三次，用x表示这三次正面朝上的次数，则x是一个随机变量，x的可能取值是?并说明这些值所表示的随机试验的结果.
练习：写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机变量的结果。
(1)从学校回家要经过5个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数;
(2)一个袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从中随机取出3只球，被取出的球的号码数;
小结(对标)
上海高二下数学电子书篇三
预习课本p103～105，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?
(3)向量数量积的性质有哪些?
(4)向量数量积的运算律有哪些?
[新知初探]
1.向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b=|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式.
2.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.
3.向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b=0.
(2)当a与b同向时，a·b=|a||b|，
当a与b反向时，a·b=-|a||b|.
(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.
(4)cosθ=a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量.()
(2)若a·b=b·c，则一定有a=c.()
(3)若a，b反向，则a·b=-|a||b|.()
(4)若a·b=0，则a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2.若|a|=2，|b|=12，a与b的夹角为60°，则a·b=()
a.2b.12
c.1d.14
答案：b
3.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·15b=-36，则a与b的夹角为()
a.60°b.120°
c.135°d.150°
答案：b
4.已知a，b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3.
(1)若θ=135°，则a·b=________;
(2)若a∥b，则a·b=________;
(3)若a⊥b，则a·b=________.
答案：(1)-32(2)6或-6(3)0
向量数量积的运算
[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b;②(a+b)·
(a-2b).
(2)如图，正三角形abc的边长为2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
(2)∵|a|=|b|=|c|=2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算.
[活学活用]
已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b;(2)a2-b2;
(3)(2a-b)·(a+3b).
解：(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2
=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.
与向量的模有关的问题
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1，则|b|=________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|=________.
[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.
又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
∵b·(e1-e2)=0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，
从而|b|=1cos30°=233.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|=1，
∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.
解：∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)
=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°
=50+2×5×5×12=75，
∴|a+b|=53.
∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)
=|a|2+|b|2-2a·b
=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，
∴|a-b|=5.
∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)
=4|a|2+|b|2+4a·b
=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，
∴|2a+b|=57.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1.(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，则a与b的夹角为()
a.π3b.π2
c.2π3d.5π6
解析：选c∵a⊥(2a+b)，∴a·(2a+b)=0，
∴2|a|2+a·b=0，
即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.
∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.
题点二：证明两向量垂直
2.已知向量a，b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).
证明：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，
∴(a+b)⊥(a-b).
题点三：利用夹角和垂直求参数
3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为()
a.-32b.32
c.±32d.1
解析：选b∵3a+2b与ka-b互相垂直，
∴(3a+2b)·(ka-b)=0，
∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.
∵a⊥b，∴a·b=0，
又|a|=2，|b|=3，
∴12k-18=0，k=32.
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.
层级一学业水平达标
1.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为()
a.π6b.π4
c.π3d.π2
解析：选c由题意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.
2.已知|b|=3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()
a.3b.92
c.2d.12
解析：选b设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=32，
∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.
3.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为()
a.-6b.6
c.3d.-3
解析：选b∵c·d=0，
∴(2a+3b)·(ka-4b)=0，
∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，
∴2k=12，∴k=6.
4.已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|=()
a.37b.13
c.37d.13
解析：选c|a+b|=a+b2=a2+2a·b+b2
=42+2×4×3cos60°+32=37.
5.在四边形abcd中，=，且·=0，则四边形abcd是()
a.矩形b.菱形
c.直角梯形d.等腰梯形
解析：选b∵=，即一组对边平行且相等，·=0，即对角线互相垂直，∴四边形abcd为菱形.
6.给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0，则a与b中至少有一个为0;
③a与b是两个单位向量，则a2=b2.
其中，正确命题的序号是________.
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然①②错误.
答案：③
7.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.
解析：(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.
答案：-92
8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.
解析：∵c⊥a，∴c·a=0，
∴(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.
∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.
答案：120°
9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a与b的
夹角.
解：因为|e1|=|e2|=1，
所以e1·e2=1×1×cos60°=12，
|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，
|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，
且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，
所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，
所以a与b的夹角为120°.
10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时，向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解：(1)∵|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1，
∴a·b=|a||b|cosθ=-1.
∴cosθ=-12，∴θ=2π3.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵λa+b与a-3b互相垂直，
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.
层级二应试能力达标
1.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为π3，则向量m=a-4b的模为()
a.2b.23
c.6d.12
解析：选b|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.
2.在rt△abc中，c=90°，ac=4，则·等于()
a.-16b.-8
c.8d.16
解析：选d法一：因为cosa=acab，故·=||·||cosa=||2=16，故选d.
法二：在上的投影为||cosa=||，故·=|cosa=||2=16，故选d.
3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a-b|=()
a.1b.3
c.5d.3
解析：选c由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因为|a|=1，|b|
=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，则|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.
4.如图，在边长为2的菱形abcd中，∠bad=60°，e为bc的中点，则·=()
a.-3b.0
c.-1d.1
解析：选c·=ab―→+12ad―→·(-)
=12·-||2+12||2
=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.
5.设向量a，b，c满足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.
又(a-b)·c=0，∴(a-b)·(-a-b)=0，即a2=b2.
则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
法二：如图，作==a，
=b，则=c.
∵a⊥b，∴ab⊥bc，
又∵a-b=-=，
(a-b)⊥c，∴cd⊥ca，
所以△abc是等腰直角三角形，
∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案：4
6.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，12a+b·(2a-3b)=12，则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.
解析：12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.
答案：21
7.已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)·(a+b)=12，且a·b=12.
(1)求向量a，b的夹角;(2)求|a-b|.
解：(1)∵(a-b)·(a+b)=12，
∴a2-b2=12，
即|a|2-|b|2=12.
又|a|=1，
∴|b|=22.
∵a·b=12，
∴|a|·|b|cosθ=12，
∴cosθ=22，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a-b|2=(a-b)2
=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，
∴|a-b|=22.
8.设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，
得2te1+7e2·e1+te2|2te1+7e2|·|e1+te2|<0.即
(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，化简即得
2t2+15t+7<0，解得-7
当夹角为π时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ<0，可得
2t=λ，7=λt，λ<0，⇒λ=-14，t=-142.
∴所求实数t的取值范围是
-7，-142∪-142，-12.
【篇二】
[新知初探]
平面向量共线的坐标表示
前提条件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0
结论当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线
[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例;
(2)当a≠0，b=0时，a∥b，此时x1y2-x2y1=0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0⇔a∥b.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2=x2y1.()
(2)向量(2,3)与向量(-4，-6)反向.()
答案：(1)√(2)√
2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，则与a+b共线的向量可以是()
a.(2,1)b.(-1,2)c.(6,10)d.(-6,10)
答案：c
3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，则x等于()
a.-12b.12c.-2d.2
答案：d
4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起点为a(1,2)，终点b在x轴上，则点b的坐标为________.
答案：73，0
向量共线的判定
[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于()
a.12b.13c.1d.2
(2)已知a(2,1)，b(0,4)，c(1,3)，d(5，-3).判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反?
[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.
法二：假设a，b不共线，则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，从而1=2μ，2=-2μ，方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ=21，即λ=12.
[答案]a
(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，
∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共线.
又=-2，∴，方向相反.
综上，与共线且方向相反.
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
[活学活用]
已知a=(1,2)，b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行，平行时它们的方向相同还是相反?
解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，
若ka+b与a-3b平行，则-4(k-3)-10(2k+2)=0，
解得k=-13，此时ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b与a-3b反向.
∴k=-13时，ka+b与a-3b平行且方向相反.
三点共线问题
[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求证：a，b，c三点共线;
(2)设向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，当k为何值时，a，b，c三点
共线?
[解](1)证明：∵=-=(4,8)，
=-=(6,12)，
∴=32，即与共线.
又∵与有公共点a，∴a，b，c三点共线.
(2)若a，b，c三点共线，则，共线，
∵=-=(4-k，-7)，
=-=(10-k，k-12)，
∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.
解得k=-2或k=11.
有关三点共线问题的解题策略
(1)要判断a，b，c三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则a，b，c三点共线;
(2)使用a，b，c三点共线这一条件建立方程求参数时，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.
[活学活用]
设点a(x,1)，b(2x,2)，c(1,2x)，d(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，a，b，c，d能否在同一条直线上?
解：=(2x,2)-(x,1)=(x,1)，
=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2)，
=(5,3x)-(1,2x)=(4，x).
由与共线，所以x2=1×4，所以x=±2.
又与方向相同，所以x=2.
此时，=(2,1)，=(-3,2)，
而2×2≠-3×1，所以与不共线，
所以a，b，c三点不在同一条直线上.
所以a，b，c，d不在同一条直线上.
向量共线在几何中的应用
题点一：两直线平行判断
1.如图所示，已知直角梯形abcd，ad⊥ab，ab=2ad=2cd，过点c作ce⊥ab于e，用向量的方法证明：de∥bc;
证明：如图，以e为原点，ab所在直线为x轴，ec所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||=1，则||=1，||=2.
∵ce⊥ab，而ad=dc，
∴四边形aecd为正方形，
∴可求得各点坐标分别为e(0,0)，b(1,0)，c(0,1)，d(-1,1).
∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1)，
=(0,1)-(1,0)=(-1,1)，
∴=，∴∥，即de∥bc.
题点二：几何形状的判断
2.已知直角坐标平面上四点a(1,0)，b(4,3)，c(2,4)，d(0,2)，求证：四边形abcd是等腰梯形.
证明：由已知得，=(4,3)-(1,0)=(3,3)，
=(0,2)-(2,4)=(-2，-2).
∵3×(-2)-3×(-2)=0，∴与共线.
=(-1,2)，=(2,4)-(4,3)=(-2,1)，
∵(-1)×1-2×(-2)≠0，∴与不共线.
∴四边形abcd是梯形.
∵=(-2,1)，=(-1,2)，
∴||=5=||，即bc=ad.
故四边形abcd是等腰梯形.
题点三：求交点坐标
3.如图所示，已知点a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，求ac和ob交点p的坐标.
解：法一：设=t=t(4,4)
=(4t,4t)，
则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)，
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由，共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，
解得t=34.∴=(3,3).
∴p点坐标为(3,3).
法二：设p(x，y)，
则=(x，y)，=(4,4).
∵，共线，
∴4x-4y=0.①
又=(x-2，y-6)，=(2，-6)，
且向量，共线，
∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②
解①②组成的方程组，得x=3，y=3，
∴点p的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
层级一学业水平达标
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()
a.e1=(0,0)，e2=(1，-2)
b.e1=(-1,2)，e2=(5,7)
c.e1=(3,5)，e2=(6,10)
d.e1=(2，-3)，e2=12，-34
解析：选ba中向量e1为零向量，∴e1∥e2;c中e1=12e2，∴e1∥e2;d中e1=4e2，∴e1∥e2，故选b.
2.已知点a(1,1)，b(4,2)和向量a=(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()
a.-23b.32
c.23d.-32
解析：选c根据a，b两点的坐标，可得=(3,1)，
∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=23，故选c.
3.已知a(2，-1)，b(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()
a.(2,1)b.(-6，-3)
c.(-1,2)d.(-4，-8)
解析：选d=(1,2)，向量(2,1)、(-6，-3)、(-1,2)与(1,2)不平行;(-4，-8)与(1,2)平行且方向相反.
4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a+b)∥(a-2b)，则实数x的值为()
a.-3b.2
c.4d.-6
解析：选d因为(a+b)∥(a-2b)，a+b=(x+3,1)，a-2b=(x-6,4)，所以4(x+3)-(x-6)=0，解得x=-6.
5.设a=32，tanα，b=cosα，13，且a∥b，则锐角α为()
a.30°b.60°
c.45°d.75°
解析：选a∵a∥b，
∴32×13-tanαcosα=0，
即sinα=12，α=30°.
6.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，则实数x的值为________.
解析：∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线，
∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1.
答案：1
7.已知a(-1,4)，b(x，-2)，若c(3,3)在直线ab上，则x=________.
解析：=(x+1，-6)，=(4，-1)，
∵∥，∴-(x+1)+24=0，∴x=23.
答案：23
8.已知向量a=(1,2)，b=(-2,3)，若λa+μb与a+b共线，则λ与μ的关系是________.
解析：∵a=(1,2)，b=(-2,3)，
∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5)，
λa+μb=λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ，2λ+3μ)，
又∵(λa+μb)∥(a+b)，
∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0，
∴λ=μ.
答案：λ=μ
9.已知a，b，c三点的坐标为(-1,0)，(3，-1)，(1,2)，并且=13，=13，求证：∥.
证明：设e，f的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有=(2,2)，=(-2,3)，=(4，-1).
∵=13，∴(x1+1，y1)=13(2,2).
∴点e的坐标为-13，23.
同理点f的坐标为73，0，=83，-23.
又83×(-1)-4×-23=0，∴∥.
10.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，c=(5,2)，m=λb+c(λ为常数).
(1)求a+b;
(2)若a与m平行，求实数λ的值.
解：(1)因为a=(2,1)，b=(1,1)，
所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).
(2)因为b=(1,1)，c=(5,2)，
所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5，λ+2).
又因为a=(2,1)，且a与m平行，
所以2(λ+2)=λ+5，解得λ=1.
层级二应试能力达标
1.已知平面向量a=(x,1)，b=(-x，x2)，则向量a+b()
a.平行于x轴
b.平行于第一、三象限的角平分线
c.平行于y轴
d.平行于第二、四象限的角平分线
解析：选c因为a+b=(0,1+x2)，所以a+b平行于y轴.
2.若a(3，-6)，b(-5,2)，c(6，y)三点共线，则y=()
a.13b.-13
c.9d.-9
解析：选da，b，c三点共线，
∴∥，而=(-8,8)，=(3，y+6)，
∴-8(y+6)-8×3=0，即y=-9.
3.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，c=ka+b(k∈r)，d=a-b，如果c∥d，那么()
a.k=1且c与d同向
b.k=1且c与d反向
c.k=-1且c与d同向
d.k=-1且c与d反向
解析：选d∵a=(1,0)，b=(0,1)，若k=1，则c=a+b=(1,1)，d=a-b=(1，-1)，显然，c与d不平行，排除a、b.若k=-1，则c=-a+b=(-1,1)，d=a-b=-(-1,1)，即c∥d且c与d反向.
4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标是()
a.(1,5)或(5,5)
b.(1,5)或(-3，-5)
c.(5，-5)或(-3，-5)
d.(1,5)或(5，-5)或(-3，-5)
解析：选d设a(-1,0)，b(3,0)，c(1，-5)，第四个顶点为d，
①若这个平行四边形为▱abcd，
则=，∴d(-3，-5);
②若这个平行四边形为▱acdb，
则=，∴d(5，-5);
③若这个平行四边形为▱acbd，
则=，∴d(1,5).
综上所述，d点坐标为(1,5)或(5，-5)或(-3，-5).
5.已知=(6,1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，则x+2y的值为________.
解析：∵=++=(6,1)+(x，y)+(-2，-3)
=(x+4，y-2)，
∴=-=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2).
∵∥，
∴x(-y+2)-(-x-4)y=0，即x+2y=0.
答案：0
6.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m).若点a，b，c能构成三角形，则实数m应满足的条件为________.
解析：若点a，b，c能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
∵=-=(3,1)，=-=(2-m,1-m)，
∴3(1-m)≠2-m，即m≠12.
答案：m≠12
7.已知a(1,1)，b(3，-1)，c(a，b).
(1)若a，b，c三点共线，求a与b之间的数量关系;
(2)若=2，求点c的坐标.
解：(1)若a，b，c三点共线，则与共线.
=(3，-1)-(1,1)=(2，-2)，=(a-1，b-1)，
∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0，∴a+b=2.
(2)若=2，则(a-1，b-1)=(4，-4)，
∴a-1=4，b-1=-4，∴a=5，b=-3，
∴点c的坐标为(5，-3).
8.如图所示，在四边形abcd中，已知a(2,6)，b(6,4)，c(5,0)，d(1,0)，求直线ac与bd交点p的坐标.
解：设p(x，y)，则=(x-1，y)，
=(5,4)，=(-3,6)，=(4,0).
由b，p，d三点共线可得==(5λ，4λ).
又∵=-=(5λ-4,4λ)，
由于与共线得，(5λ-4)×6+12λ=0.
解得λ=47，
∴=47=207，167，
∴p的坐标为277，167.
上海高二下数学电子书篇四
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的值和最小值.
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点(0，0)不在这个三角形区域内，当时，，点(0，0)在直线上.
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点a(5，2)的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.
是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解(5，2)和(1，1)分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.
上海高二下数学电子书篇五
∴λk=2，λ=-1，
∴k=-2，λ=-1，
∴k=-2.
层级二应试能力达标
1.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()
a.a与λa的方向相同
b.a与-λa的方向相反
c.a与λ2a的方向相同
d.|λa|=λ|a|
解析：选c只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与-λa的方向相反，且|λa|=λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同.
2.已知o是△abc所在平面内一点，d为边bc的中点，且2++=0，则()
a.=b.=2
c.=3d.2=
解析：选a∵在△abc中，d为边bc的中点，∴+=2，∴2(+)=0，即+=0，从而=.
3.已知向量a，b不共线，若=λ1a+b，=a+λ2b，且a，b，c三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为()
a.λ1=λ2=1b.λ1=λ2=-1
c.λ1λ2=1d.λ1+λ2=1
解析：选c∵a，b，c三点共线，
∴=k(k≠0).
∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.
又∵a，b不共线，
∴λ1=k，1=kλ2，∴λ1λ2=1.
4.已知平面内有一点p及一个△abc，若++=，则()
a.点p在△abc外部b.点p在线段ab上
c.点p在线段bc上d.点p在线段ac上
解析：选d∵++=，
∴++-=0，
∴+++=0，即++=0，
∴2=，∴点p在线段ac上.
5.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反，则k=______.
解析：∵ke1+2e2与8e1+ke2共线，
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
∴k=8λ，2=λk，解得λ=12，k=4或λ=-12，k=-4.
∵ke1+2e2与8e1+ke2反向，
∴λ=-12，k=-4.
答案：-4
6.如图所示，在▱abcd中，=a，=b，an=3nc，m为bc的中点，则=________(用a，b)表示.
解析：=+=-=12-14
=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).
答案：14(b-a)
7.已知：在四边形abcd中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，求证：四边形abcd为梯形.
证明：如图所示.
∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b)，
∴=2.
∴与共线，且||=2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴ad∥bc，且ad=2bc.
∴四边形abcd是以ad，bc为两条底边的梯形.
8.如图，已知△ocb中，点a是bc的中点，d是将ob分成2∶1的一个内分点，dc和oa交于点e，设=a，=b.
(1)用a，b表示向量，;
(2)若=λ，求λ的值.
解：(1)由a是bc的中点，则有=12(+)，
从而=2-=2a-b.
由d是将ob分成2∶1的一个内分点，得=23，
从而=-=(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)由于c，e，d三点共线，则=μ，
又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b，
=2a-53b，
从而(2-λ)a-b=μ2a-53b，
又a，b不共线，则2-λ=2μ，1=53μ，解得λ=45.
