经典例题1、菱形与旋转问题

在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；

（2）当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；

（3）如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2√3，BE＝2√19，求四边形ADPE的面积．

【试题分析】此题是四边形的综合题,重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及图形的面积等知识点,解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线,将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来,此题难度较大,属于考试压轴题.

(1)连接 AC ,根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△ BAP ≌ CAE 即可证的结论;

(2)(1)中的结论成立,用(1)中的方法证明 △ BAP≌△ CAE 即可;

(3)连接 AC 交 BD 于点 O ,由 LBCE =90,根据勾股定理求出 CE 的长即得到 BP 的长,再求 AO PO 、 PD 的长及等边三角形 APE 的边长,可求得△ APD 和△ APE 的面积,进而求得四边形 ADPE 的面积.

【参考答案】(1)BP＝CE CE⊥AD ；（2）成立；（3）8√3.

经典例题2、正方形中的三角形与旋转问题

（1）如图1，正方形ABCD中以AB为边在正方形内构造等边△ABE，等边△ABE边AE交正方形对角线BD于F点，求证：BF/FD=√3．

（2）将等腰Rt△BEF绕B点旋转至如图2的位置连接DE，M点为DE的中点，连接AM、MF，求MA与MF的关系；

（3）如图3，将△BEF绕B点旋转一周，若EF＝4，AB＝1，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为 　 　．

【试题分析】（1）延长AE，交CD于点G，由“8字”型相似可得BF：FD=DG：AB=tan60°=√3.（2）MA⊥MF，且MA=MF；

经典例题3、正方形中的线段与旋转问题

将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．

（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；

（2）如图2，过B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．

①求∠BPD的大小；

②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；

③当点D为PE中点时，PB＝6，直接写出四边形ABPE的面积．

参考答案见下图

例题4、正方形与旋转问题

如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．

（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝　 　；

（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；

（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明.

【参考答案】（1）67.5°；（2）略；（3）等腰直角三角形。